गणित प्रश्न और समाधान
खण्ड-‘A’ (अति लघु उत्तरीय प्रश्न)
खण्ड-‘B’ (लघु उत्तरीय प्रश्न)
प्रमाण:
माना \(3 + 2\sqrt{5}\) एक परिमेय संख्या है। अतः इसे \(\frac{a}{b}\) के रूप में व्यक्त किया जा सकता है, जहाँ \(a\) और \(b\) पूर्णांक हैं, \(b \neq 0\), और \(a, b\) सह-अभाज्य हैं।
\[3 + 2\sqrt{5} = \frac{a}{b}\]
\[\Rightarrow 2\sqrt{5} = \frac{a}{b} - 3 = \frac{a - 3b}{b}\]
\[\Rightarrow \sqrt{5} = \frac{a - 3b}{2b}\]
चूंकि \(a, b\) पूर्णांक हैं, \(\frac{a - 3b}{2b}\) एक परिमेय संख्या है। यह दर्शाता है कि \(\sqrt{5}\) परिमेय है। लेकिन हम जानते हैं कि \(\sqrt{5}\) एक अपरिमेय संख्या है, क्योंकि 5 एक पूर्ण वर्ग नहीं है। यह हमारे परिमेय मानने के साथ विरोधाभास है।
अतः हमारी प्रारंभिक धारणा गलत है। इसलिए, \(3 + 2\sqrt{5}\) एक अपरिमेय संख्या है।
निष्कर्ष: \(3 + 2\sqrt{5}\) एक अपरिमेय संख्या है।
हल:
यूक्लिड विभाजन एल्गोरिथ्म के अनुसार, दो संख्याओं \(a\) और \(b\) का म.स. तब तक विभाजन करके प्राप्त किया जाता है जब तक शेष 0 न हो जाए।
यहाँ, \(a = 12576\), \(b = 4052\):
12576 = 4052 × 3 + 420
4052 = 420 × 9 + 272
420 = 272 × 1 + 148
272 = 148 × 1 + 124
148 = 124 × 1 + 24
124 = 24 × 5 + 4
24 = 4 × 6 + 0
अंतिम गैर-शून्य शेष 4 है।
म.स.: 4
प्रमाण:
माना \(n\) एक धनात्मक विषम पूर्णांक है। यूक्लिड विभाजन एल्गोरिथ्म के अनुसार, किसी पूर्णांक \(n\) को 6 से भाग देने पर:
\[n = 6q + r\], जहाँ \(q\) पूर्णांक है और \(r\) (शेष) \(0 \leq r < 6\), अर्थात् \(r = 0, 1, 2, 3, 4, 5\).
चूंकि \(n\) विषम है, \(n\) को 2 से भाग देने पर शेष 1 होगा। अतः \(r\) को 2 से भाग देने पर शेष 0 नहीं हो सकता। इसलिए:
- \(r = 0\): \(6q + 0 = 6q\), जो सम है। अस्वीकार।
- \(r = 2\): \(6q + 2\), जो सम है। अस्वीकार।
- \(r = 4\): \(6q + 4\), जो सम है। अस्वीकार।
- \(r = 1\): \(6q + 1\), जो विषम है। स्वीकार।
- \(r = 3\): \(6q + 3\), जो विषम है। स्वीकार।
- \(r = 5\): \(6q + 5\), जो विषम है। स्वीकार।
अतः \(n\) केवल \(6q + 1\), \(6q + 3\), या \(6q + 5\) के रूप में हो सकता है।
निष्कर्ष: कोई भी धनात्मक विषम पूर्णांक \(6q + 1\), \(6q + 3\), या \(6q + 5\) के रूप का होता है।
हल:
समीकरण निकाय \(a_1x + b_1y = c_1\) और \(a_2x + b_2y = c_2\) का कोई हल नहीं होता यदि:
\[\frac{a_1}{a_2} = \frac{b_1}{b_2} \neq \frac{c_1}{c_2}\]
यहाँ, समीकरण हैं: \(kx + 2y = 5\) और \(3x + y = 1\).
सहगुणक: \(a_1 = k, b_1 = 2, c_1 = 5\); \(a_2 = 3, b_2 = 1, c_2 = 1\).
कोई हल न होने की शर्त:
\[\frac{k}{3} = \frac{2}{1} \neq \frac{5}{1}\]
\[\frac{k}{3} = 2 \Rightarrow k = 6\]
अब जाँचें: \[\frac{2}{1} = 2 \neq \frac{5}{1} = 5\], शर्त संतुष्ट है।
उत्तर: \(k = 6\)
हल:
दिया है: \[\cos A = \frac{\text{आधार}}{\text{कर्ण}} = \frac{3}{5}\]
माना समकोण त्रिभुज में कर्ण = 5, आधार = 3। पाइथागोरस प्रमेय से लंब की गणना:
\[\text{लंब}^2 = \text{कर्ण}^2 - \text{आधार}^2 = 5^2 - 3^2 = 25 - 9 = 16\]
\[\text{लंब} = \sqrt{16} = 4\]
अब त्रिकोणमितीय अनुपात:
\[\sin A = \frac{\text{लंब}}{\text{कर्ण}} = \frac{4}{5}\]
\[\tan A = \frac{\text{लंब}}{\text{आधार}} = \frac{4}{3}\]
\[\cot A = \frac{\text{आधार}}{\text{लंब}} = \frac{3}{4}\]
\[\sec A = \frac{\text{कर्ण}}{\text{आधार}} = \frac{5}{3}\]
\[\csc A = \frac{\text{कर्ण}}{\text{लंब}} = \frac{5}{4}\]
उत्तर: \[\sin A = \frac{4}{5}, \tan A = \frac{4}{3}, \cot A = \frac{3}{4}, \sec A = \frac{5}{3}, \csc A = \frac{5}{4}\]
हल:
दिया है: \[x^2 + 7x + 10\]
शून्यक ज्ञात करने के लिए, बहुपद का गुणनखंड करें:
माना: \[x^2 + 7x + 10 = (x + a)(x + b)\]
\[\Rightarrow x^2 + (a+b)x + ab = x^2 + 7x + 10\]
सहगुणकों की तुलना से: \(a + b = 7\), \(ab = 10\)
ऐसे \(a, b\) जो \(ab = 10\) और \(a + b = 7\): \(a = 5, b = 2\)
अतः: \[x^2 + 7x + 10 = (x + 5)(x + 2)\]
शून्यक: \[x + 5 = 0 \Rightarrow x = -5\], \[x + 2 = 0 \Rightarrow x = -2\]
संबंध सत्यापन:
द्विघात बहुपद \(ax^2 + bx + c\) के लिए:
शून्यकों का योग = \(-\frac{b}{a}\), शून्यकों का गुणनफल = \(\frac{c}{a}\)
यहाँ \(a = 1, b = 7, c = 10\):
शून्यकों का योग = \[-5 + (-2) = -7 = -\frac{7}{1} = -\frac{b}{a}\]
शून्यकों का गुणनफल = \[-5 \times -2 = 10 = \frac{10}{1} = \frac{c}{a}\]
संबंध सत्य है।
उत्तर: शून्यक \(-5, -2\); संबंध सत्य।
हल:
दिए गए समीकरण हैं:
\[6x + 3y = 6xy \quad (1)\]
\[2x + 4y = 5xy \quad (2)\]
समीकरणों को सरल करने के लिए, दोनों को \(xy\) से भाग दें (यह मानते हुए कि \(x \neq 0, y \neq 0\)):
समीकरण (1) से: \[\frac{6x + 3y}{xy} = \frac{6xy}{xy} \Rightarrow \frac{6}{y} + \frac{3}{x} = 6\]
समीकरण (2) से: \[\frac{2x + 4y}{xy} = \frac{5xy}{xy} \Rightarrow \frac{2}{y} + \frac{4}{x} = 5\]
माना \[\frac{1}{x} = u\], \[\frac{1}{y} = v\], तो समीकरण बनते हैं:
\[3u + 6v = 6 \quad (3)\]
\[4u + 2v = 5 \quad (4)\]
समीकरण (3) को 2 से और समीकरण (4) को 3 से गुणा करें:
\[6u + 12v = 12 \quad (5)\]
\[12u + 6v = 15 \quad (6)\]
समीकरण (5) और (6) को जोड़ें:
\[18u + 18v = 27 \Rightarrow u + v = \frac{27}{18} = \frac{3}{2}\]
समीकरण (6) से (5) घटाएँ:
\[6u - 6v = 3 \Rightarrow u - v = \frac{3}{6} = \frac{1}{2}\]
अब हल करें:
\[u + v = \frac{3}{2} \quad (7)\]
\[u - v = \frac{1}{2} \quad (8)\]
(7) + (8): \[2u = \frac{3}{2} + \frac{1}{2} = 2 \Rightarrow u = 1\]
(7) में \(u = 1\): \[1 + v = \frac{3}{2} \Rightarrow v = \frac{3}{2} - 1 = \frac{1}{2}\]
अतः \[\frac{1}{x} = 1 \Rightarrow x = 1\], \[\frac{1}{y} = \frac{1}{2} \Rightarrow y = 2\]
सत्यापन: समीकरण (1) में \(x = 1, y = 2\):
\[6(1) + 3(2) = 6 + 6 = 12\], \[6 \times 1 \times 2 = 12\], संतुष्ट।
समीकरण (2): \[2(1) + 4(2) = 2 + 8 = 10\], \[5 \times 1 \times 2 = 10\], संतुष्ट।
उत्तर: \(x = 1, y = 2\)
हल:
दिया है: \[2x^2 - 2\sqrt{2}x + 1 = 0\]
द्विघात सूत्र: \[x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}\]
यहाँ, \(a = 2, b = -2\sqrt{2}, c = 1\)
विवेचक (\(\Delta\)): \[\Delta = b^2 - 4ac = (-2\sqrt{2})^2 - 4 \times 2 \times 1 = 4 \times 2 - 8 = 8 - 8 = 0\]
चूंकि \(\Delta = 0\), मूल वास्तविक और बराबर हैं।
\[x = \frac{-b}{2a} = \frac{-(-2\sqrt{2})}{2 \times 2} = \frac{2\sqrt{2}}{4} = \frac{\sqrt{2}}{2}\]
उत्तर: मूल \(\frac{\sqrt{2}}{2}\) (दोहरा)।
खण्ड-‘C’ (दीर्घ उत्तरीय प्रश्न)
प्रमाण:
माना \(\sqrt{7}\) एक परिमेय संख्या है, अर्थात् \[\sqrt{7} = \frac{a}{b}\], जहाँ \(a, b\) पूर्णांक, \(b \neq 0\), और \(a, b\) सह-अभाज्य हैं।
\[\sqrt{7} = \frac{a}{b} \Rightarrow a^2 = 7b^2\]
इसका अर्थ है कि \(a^2\) 7 से विभाज्य है। चूंकि 7 एक अभाज्य संख्या है, \(a\) भी 7 से विभाज्य होगा। माना \(a = 7m\), जहाँ \(m\) पूर्णांक है।
\[(7m)^2 = 7b^2 \Rightarrow 49m^2 = 7b^2 \Rightarrow b^2 = 7m^2\]
अब \(b^2\) 7 से विभाज्य है, अतः \(b\) भी 7 से विभाज्य है।
इस प्रकार, \(a\) और \(b\) दोनों 7 से विभाज्य हैं, जो इस धारणा के विरुद्ध है कि \(a, b\) सह-अभाज्य हैं। अतः \(\sqrt{7}\) परिमेय नहीं हो सकता।
निष्कर्ष: \(\sqrt{7}\) एक अपरिमेय संख्या है।
हल:
दिया है: भाग्य = \[-x^3 + 3x^2 - 3x + 5\], भाजक = \[-x^2 + x - 1\]
बहुपद विभाजन:
पहला पद: \[-x^3 \div -x^2 = x\]
\[x \times (-x^2 + x - 1) = -x^3 + x^2 - x\]
\[(-x^3 + 3x^2 - 3x + 5) - (-x^3 + x^2 - x) = 2x^2 - 2x + 5\]
दूसरा पद: \[2x^2 \div -x^2 = -2\]
\[-2 \times (-x^2 + x - 1) = 2x^2 - 2x + 2\]
\[(2x^2 - 2x + 5) - (2x^2 - 2x + 2) = 3\]
शेष = 3, भागफल = \(x - 2\)
सत्यापन: विभाजन एल्गोरिथ्म के अनुसार, भाग्य = भाजक × भागफल + शेष
\[(-x^2 + x - 1)(x - 2) + 3\]
\[(-x^2 + x - 1)(x - 2) = -x^3 + x^2 - x + 2x^2 - 2x + 2 = -x^3 + 3x^2 - 3x + 2\]
\[-x^3 + 3x^2 - 3x + 2 + 3 = -x^3 + 3x^2 - 3x + 5\]
यह भाग्य के बराबर है।
निष्कर्ष: भागफल = \(x - 2\), शेष = 3, सत्य।
हल:
दिया है: बहुपद \[3x^4 + 6x^3 - 2x^2 - 10x - 5\], शून्यक \[\sqrt{\frac{5}{3}}, -\sqrt{\frac{5}{3}}\]
इन शून्यकों के लिए गुणनखंड: \[(x - \sqrt{\frac{5}{3}})(x + \sqrt{\frac{5}{3}}) = x^2 - \frac{5}{3}\]
बहुपद को \[3x^2 - 5\] से भाग दें (3 से गुणा करें):
\[3x^4 + 6x^3 - 2x^2 - 10x - 5 \div 3x^2 - 5\]
पहला पद: \[3x^4 \div 3x^2 = x^2\]
\[x^2 (3x^2 - 5) = 3x^4 - 5x^2\]
\[(3x^4 + 6x^3 - 2x^2 - 10x - 5) - (3x^4 - 5x^2) = 6x^3 + 3x^2 - 10x - 5\]
दूसरा पद: \[6x^3 \div 3x^2 = 2x\]
\[2x (3x^2 - 5) = 6x^3 - 10x\]
\[(6x^3 + 3x^2 - 10x - 5) - (6x^3 - 10x) = 3x^2 - 5\]
तीसरा पद: \[3x^2 \div 3x^2 = 1\]
\[1 (3x^2 - 5) = 3x^2 - 5\]
\[(3x^2 - 5) - (3x^2 - 5) = 0\]
भागफल: \[x^2 + 2x + 1 = (x + 1)^2\]
शून्यक: \[x + 1 = 0 \Rightarrow x = -1\] (दोहरा)
कुल शून्यक: \[\sqrt{\frac{5}{3}}, -\sqrt{\frac{5}{3}}, -1, -1\]
उत्तर: \[\sqrt{\frac{5}{3}}, -\sqrt{\frac{5}{3}}, -1, -1\]
हल:
दिए गए समीकरण:
\[2x + 3y = 11 \quad (1)\]
\[2x - 4y = -24 \quad (2)\]
समीकरण (1) से (2) घटाएँ:
\[(2x + 3y) - (2x - 4y) = 11 - (-24)\]
\[3y + 4y = 11 + 24 \Rightarrow 7y = 35 \Rightarrow y = 5\]
समीकरण (1) में \(y = 5\):
\[2x + 3 \times 5 = 11 \Rightarrow 2x + 15 = 11 \Rightarrow 2x = -4 \Rightarrow x = -2\]
अब, \(y = mx + 3\) में \(x = -2, y = 5\):
\[5 = m(-2) + 3 \Rightarrow 5 = -2m + 3 \Rightarrow -2m = 2 \Rightarrow m = -1\]
उत्तर: \(x = -2, y = 5, m = -1\)
हल:
दिए गए समीकरण:
\[\frac{3x}{2} - \frac{5y}{3} = -2 \quad (1)\]
\[\frac{x}{3} + \frac{y}{2} = \frac{13}{6} \quad (2)\]
समीकरण (2) से \(x\) निकालें:
\[\frac{x}{3} + \frac{y}{2} = \frac{13}{6}\]
ल.स. = 6, गुणा करें:
\[2x + 3y = 13 \Rightarrow 2x = 13 - 3y \Rightarrow x = \frac{13 - 3y}{2}\]
समीकरण (1) में \(x = \frac{13 - 3y}{2}\):
\[\frac{3}{2} \left(\frac{13 - 3y}{2}\right) - \frac{5y}{3} = -2\]
\[\frac{3(13 - 3y)}{4} - \frac{5y}{3} = -2\]
ल.स. = 12, गुणा करें:
\[9(13 - 3y) - 20y = -24\]
\[117 - 27y - 20y = -24 \Rightarrow 117 - 47y = -24 \Rightarrow -47y = -141 \Rightarrow y = 3\]
\(y = 3\) को \(x = \frac{13 - 3y}{2}\):
\[x = \frac{13 - 3 \times 3}{2} = \frac{13 - 9}{2} = \frac{4}{2} = 2\]
सत्यापन: समीकरण (1): \[\frac{3 \times 2}{2} - \frac{5 \times 3}{3} = 3 - 5 = -2\], संतुष्ट।
समीकरण (2): \[\frac{2}{3} + \frac{3}{2} = \frac{4 + 9}{6} = \frac{13}{6}\], संतुष्ट।
उत्तर: \(x = 2, y = 3\)
हल:
दिए गए समीकरण:
\[6x + 5y - 11 = 0 \quad (1)\]
\[9x + 10y - 21 = 0 \quad (2)\]
वज्र गुणन विधि: समीकरण \(a_1x + b_1y + c_1 = 0\), \(a_2x + b_2y + c_2 = 0\) के लिए:
\[\frac{x}{b_1c_2 - b_2c_1} = \frac{y}{c_1a_2 - c_2a_1} = \frac{1}{a_1b_2 - a_2b_1}\]
यहाँ: \(a_1 = 6, b_1 = 5, c_1 = -11; a_2 = 9, b_2 = 10, c_2 = -21\)
\[\frac{x}{(5)(-21) - (10)(-11)} = \frac{y}{(-11)(9) - (-21)(6)} = \frac{1}{(6)(10) - (9)(5)}\]
\[\frac{x}{-105 + 110} = \frac{y}{-99 + 126} = \frac{1}{60 - 45}\]
\[\frac{x}{5} = \frac{y}{27} = \frac{1}{15}\]
\[x = \frac{5}{15} = \frac{1}{3}, \quad y = \frac{27}{15} = \frac{9}{5}\]
उत्तर: \(x = \frac{1}{3}, y = \frac{9}{5}\)
हल:
माना भिन्न \(\frac{x}{y}\) है।
शर्त 1: \[\frac{x + 2}{y + 2} = \frac{9}{11}\]
\[11(x + 2) = 9(y + 2) \Rightarrow 11x + 22 = 9y + 18 \Rightarrow 11x - 9y = -4 \quad (1)\]
शर्त 2: \[\frac{x + 3}{y + 3} = \frac{5}{6}\]
\[6(x + 3) = 5(y + 3) \Rightarrow 6x + 18 = 5y + 15 \Rightarrow 6x - 5y = -3 \quad (2)\]
समीकरण (1) को 5 और (2) को 9 से गुणा करें:
\[55x - 45y = -20 \quad (3)\]
\[54x - 45y = -27 \quad (4)\]
(3) - (4): \[55x - 54x = -20 - (-27) \Rightarrow x = 7\]
समीकरण (2) में \(x=7\):
\[6(7) - 5y = -3 \Rightarrow 42 - 5y = -3 \Rightarrow -5y = -45 \Rightarrow y = 9\]
भिन्न: \[\frac{7}{9}\]
उत्तर: भिन्न \(\frac{7}{9}\)
हल:
माना शांत जल में नाव की चाल \(x\) किमी/घंटा और धारा की चाल \(y\) किमी/घंटा है।
धारा के अनुकूल चाल = \(x + y\), धारा के प्रतिकूल चाल = \(x - y\)
शर्त 1: \[\frac{30}{x - y} + \frac{44}{x + y} = 10 \quad (1)\]
शर्त 2: \[\frac{40}{x - y} + \frac{55}{x + y} = 13 \quad (2)\]
माना \[\frac{1}{x - y} = u\], \[\frac{1}{x + y} = v\]
समीकरण (1): \[30u + 44v = 10 \quad (3)\]
समीकरण (2): \[40u + 55v = 13 \quad (4)\]
समीकरण (3) को 4 से और (4) को 3 से गुणा करें:
\[120u + 176v = 40 \quad (5)\]
\[120u + 165v = 39 \quad (6)\]
(5) - (6): \[11v = 1 \Rightarrow v = \frac{1}{11}\]
समीकरण (3) में \(v = \frac{1}{11}\):
\[30u + 44(\frac{1}{11}) = 10 \Rightarrow 30u + 4 = 10 \Rightarrow 30u = 6 \Rightarrow u = \frac{1}{5}\]
\[x - y = \frac{1}{u} = 5 \quad (7)\]
\[x + y = \frac{1}{v} = 11 \quad (8)\]
(7) + (8): \[2x = 16 \Rightarrow x = 8\]
(8) में \(x = 8\): \[8 + y = 11 \Rightarrow y = 3\]
उत्तर: नाव की चाल = 8 किमी/घंटा, धारा की चाल = 3 किमी/घंटा
हल:
माना आधार = \(x\) cm, ऊँचाई = \(x - 7\) cm, कर्ण = 13 cm
पाइथागोरस प्रमेय: \[\text{आधार}^2 + \text{ऊँचाई}^2 = \text{कर्ण}^2\]
\[x^2 + (x - 7)^2 = 13^2\]
\[x^2 + x^2 - 14x + 49 = 169\]
\[2x^2 - 14x - 120 = 0 \Rightarrow x^2 - 7x - 60 = 0\]
गुणनखंड: \[(x - 12)(x + 5) = 0\]
चूंकि भुजा की लंबाई ऋणात्मक नहीं हो सकती, \(x = 12\)।
आधार = 12 cm, ऊँचाई = \(12 - 7 = 5\) cm
उत्तर: आधार = 12 cm, ऊँचाई = 5 cm
हल:
माना पूर्णांक \(x\) और \(x + 1\) हैं।
\[x^2 + (x + 1)^2 = 365\]
\[x^2 + x^2 + 2x + 1 = 365\]
\[2x^2 + 2x - 364 = 0 \Rightarrow x^2 + x - 182 = 0\]
गुणनखंड: \[(x + 14)(x - 13) = 0\]
चूंकि पूर्णांक धनात्मक हैं, \(x = 13\)।
पूर्णांक: 13 और \(13 + 1 = 14\)
उत्तर: 13, 14
हल:
माना आयत की लंबाई \(l\) इकाई और चौड़ाई \(w\) इकाई है।
शर्त 1: \[(l - 5)(w + 3) = lw - 9\]
\[lw + 3l - 5w - 15 = lw - 9 \Rightarrow 3l - 5w = 6 \quad (1)\]
शर्त 2: \[(l + 3)(w + 2) = lw + 67\]
\[lw + 2l + 3w + 6 = lw + 67 \Rightarrow 2l + 3w = 61 \quad (2)\]
समीकरण (1) को 3 और (2) को 5 से गुणा करें:
\[9l - 15w = 18 \quad (3)\]
\[10l + 15w = 305 \quad (4)\]
(3) + (4): \[19l = 323 \Rightarrow l = 17\]
समीकरण (2) में \(l = 17\):
\[2(17) + 3w = 61 \Rightarrow 34 + 3w = 61 \Rightarrow 3w = 27 \Rightarrow w = 9\]
उत्तर: लंबाई = 17 इकाई, चौड़ाई = 9 इकाई
हल:
माना नूरी की वर्तमान आयु \(x\) वर्ष और सोनू की \(y\) वर्ष है।
शर्त 1: 5 वर्ष पूर्व, \(x - 5 = 3(y - 5)\)
\[x - 5 = 3y - 15 \Rightarrow x - 3y = -10 \quad (1)\]
शर्त 2: 10 वर्ष बाद, \(x + 10 = 2(y + 10)\)
\[x + 10 = 2y + 20 \Rightarrow x - 2y = 10 \quad (2)\]
समीकरण (2) - (1): \[(x - 2y) - (x - 3y) = 10 - (-10)\]
\[y = 20\]
समीकरण (2) में \(y = 20\):
\[x - 2(20) = 10 \Rightarrow x - 40 = 10 \Rightarrow x = 50\]
उत्तर: नूरी = 50 वर्ष, सोनू = 20 वर्ष
हल:
माना दहाई का अंक \(x\) और इकाई का अंक \(y\) है।
संख्या = \(10x + y\)
शर्त 1: \[x + y = 9 \quad (1)\]
पलटी संख्या = \(10y + x\)
शर्त 2: \[9(10x + y) = 2(10y + x)\]
\[90x + 9y = 20y + 2x \Rightarrow 88x - 11y = 0 \Rightarrow 8x - y = 0 \quad (2)\]
समीकरण (1) + (2): \[9x = 9 \Rightarrow x = 1\]
समीकरण (1) में \(x = 1\): \[1 + y = 9 \Rightarrow y = 8\]
संख्या: \[10(1) + 8 = 18\]
उत्तर: संख्या = 18
हल:
माना भाग \(x\) और \(50 - x\) हैं।
\[\frac{1}{x} + \frac{1}{50 - x} = \frac{1}{12}\]
\[\frac{50 - x + x}{x(50 - x)} = \frac{1}{12} \Rightarrow 50 \times 12 = 50x - x^2\]
\[x^2 - 50x + 600 = 0\]
गुणनखंड: \[(x - 20)(x - 30) = 0\]
भाग 20 और 30 हैं।
उत्तर: भाग 20 और 30
हल:
माना बड़ी संख्या \(y\) और छोटी संख्या \(x\) है।
शर्त 1: \[y^2 - x^2 = 180 \quad (1)\]
शर्त 2: \[x^2 = 8y \quad (2)\]
समीकरण (2) को (1) में रखें:
\[y^2 - 8y = 180 \Rightarrow y^2 - 8y - 180 = 0\]
गुणनखंड: \[(y - 18)(y + 10) = 0\]
चूंकि \(x^2 = 8y\), \(y\) ऋणात्मक नहीं हो सकता (\(x^2\) हमेशा \(\ge 0\))। अतः \(y = 18\)।
अब \(x^2 = 8(18) = 144 \Rightarrow x = \pm 12\)।
उत्तर: संख्याएँ 18 और 12, या 18 और -12
हल:
माना वर्गों की भुजाएँ \(x\) मी और \(y\) मी हैं (\(x > y\))।
शर्त 1: \[x^2 + y^2 = 468 \quad (1)\]
शर्त 2: परिमिति अंतर: \[4x - 4y = 24 \Rightarrow x - y = 6 \Rightarrow x = y + 6 \quad (2)\]
समीकरण (2) को (1) में रखें:
\[(y + 6)^2 + y^2 = 468\]
\[y^2 + 12y + 36 + y^2 = 468\]
\[2y^2 + 12y - 432 = 0 \Rightarrow y^2 + 6y - 216 = 0\]
गुणनखंड: \[(y + 18)(y - 12) = 0\]
चूंकि भुजा ऋणात्मक नहीं हो सकती, \(y = 12\)।
\(x = y + 6 = 12 + 6 = 18\)।
उत्तर: भुजाएँ 12 मी और 18 मी
हल:
दिए गए समीकरण:
\[px + qy = p - q \quad (1)\]
\[qx - py = p + q \quad (2)\]
समीकरण (1) को \(p\) और (2) को \(q\) से गुणा करें:
\[p^2x + pqy = p(p - q) \quad (3)\]
\[q^2x - pqy = q(p + q) \quad (4)\]
(3) + (4): \[(p^2 + q^2)x = p^2 - pq + pq + q^2\]
\[x(p^2 + q^2) = p^2 + q^2 \Rightarrow x = 1\]
समीकरण (1) में \(x = 1\):
\[p(1) + qy = p - q \Rightarrow qy = -q \Rightarrow y = -1\]
उत्तर: \(x = 1, y = -1\)
हल:
माना \[\frac{1}{x + y} = u\], \[\frac{1}{x - y} = v\]
समीकरण बनते हैं:
\[10u + 2v = 4 \Rightarrow 5u + v = 2 \quad (1)\]
\[15u - 5v = -2 \quad (2)\]
समीकरण (1) से \(v = 2 - 5u\)। इसे (2) में रखें:
\[15u - 5(2 - 5u) = -2\]
\[15u - 10 + 25u = -2 \Rightarrow 40u = 8 \Rightarrow u = \frac{1}{5}\]
अब, \(v = 2 - 5(\frac{1}{5}) = 2 - 1 = 1\)।
\[x + y = \frac{1}{u} = 5 \quad (3)\]
\[x - y = \frac{1}{v} = 1 \quad (4)\]
(3) + (4): \[2x = 6 \Rightarrow x = 3\]
समीकरण (3) में \(x = 3\): \[3 + y = 5 \Rightarrow y = 2\]
उत्तर: \(x = 3, y = 2\)
