Class 10 Trigonometry Test 2026-27 Answer

कक्षा 10 - त्रिकोणमिति (Trigonometry) प्रीमियम टेस्ट

Success Secrets Classes (ssclasses.gq) | विस्तृत हल एवं उत्तरमाला

उत्तरमाला (Answer Key)

प्रश्न क्र.	सही उत्तर	प्रश्न क्र.	सही उत्तर
1.	$45^\circ$	26.	सिद्ध करना है
2.	$30^\circ$	27.	सिद्ध करना है
3.	$-10$	28.	सिद्ध करना है
4.	$20^\circ$	29.	सिद्ध करना है
5.	$\tan \theta$	30.	सिद्ध करना है
6.	$48^\circ$	31.	सिद्ध करना है
7.	$625/168$	32.	सिद्ध करना है
8.	$0$	33.	सिद्ध करना है
9.	$\frac{\sqrt{\cot^2 \theta + 1}}{\cot \theta}$	34.	$\sqrt{3}$
10.	$\tan^2 \theta$	35.	सिद्ध करना है
11.	$1$	36.	$-1$
12.	सिद्ध करना है	37.	सिद्ध करना है
13.	सिद्ध करना है	38.	$2$
14.	$7$	39.	सिद्ध करना है
15.	$1/3$	40.	सिद्ध करना है
16.	$a^2$	41.	सिद्ध करना है
17.	$2$	42.	सिद्ध करना है
18.	$0$	43.	सिद्ध करना है
19.	सिद्ध करना है	44.	सिद्ध करना है
20.	$40^\circ$	45.	$0$
21.	सिद्ध करना है	46.	सिद्ध करना है
22.	$A=45^\circ, B=15^\circ$	47.	सिद्ध करना है
23.	सिद्ध करना है	48.	सिद्ध करना है
24.	$22^\circ$	49.	सिद्ध करना है
25.	सिद्ध करना है	50.	$2/3$

प्रश्नों के विस्तृत हल (Step-by-Step Solutions)

1. यदि $\operatorname{cosec} \theta = \sec \theta$ तो $\theta$ का मान ज्ञात कीजिए।

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$\operatorname{cosec} \theta = \frac{1}{\sin \theta}$ और $\sec \theta = \frac{1}{\cos \theta}$
$$ \frac{1}{\sin \theta} = \frac{1}{\cos \theta} \Rightarrow \frac{\sin \theta}{\cos \theta} = 1 \Rightarrow \tan \theta = 1 $$
उत्तर: $\theta = 45^\circ$

2. यदि $\tan \theta = \cot(30^\circ + \theta)$ तो $\theta$ का मान होगा।

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$\cot x = \tan(90^\circ - x)$ होता है।
$$ \tan \theta = \tan(90^\circ - (30^\circ + \theta)) $$
$$ \theta = 90^\circ - 30^\circ - \theta \Rightarrow 2\theta = 60^\circ $$
उत्तर: $\theta = 30^\circ$

3. $10 \tan^2 A - 10 \sec^2 A$ का मान बताइए।

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$$ = 10 (\tan^2 A - \sec^2 A) $$
चूंकि $\sec^2 A - \tan^2 A = 1$, अतः $\tan^2 A - \sec^2 A = -1$
$$ = 10 \times (-1) $$
उत्तर: $-10$

4. यदि $\tan(3x - 15^\circ) = 1$ तो $x$ का मान बताइए।

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$\tan 45^\circ = 1$
$$ 3x - 15^\circ = 45^\circ \Rightarrow 3x = 60^\circ $$
उत्तर: $x = 20^\circ$

5. $\frac{\sin \theta}{\sqrt{1 - \sin^2 \theta}}$ का मान ज्ञात कीजिए।

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$$ = \frac{\sin \theta}{\sqrt{\cos^2 \theta}} = \frac{\sin \theta}{\cos \theta} $$
उत्तर: $\tan \theta$

6. यदि $\sin \theta = \cos(\theta - 6^\circ)$ तो $\theta$ का मान होगा।

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$$ \cos(90^\circ - \theta) = \cos(\theta - 6^\circ) $$
$$ 90^\circ - \theta = \theta - 6^\circ \Rightarrow 96^\circ = 2\theta $$
उत्तर: $\theta = 48^\circ$

7. यदि $\cos A = \frac{7}{25}$ तो $\tan A + \cot A$ का मान होगा।

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$\sin A = \sqrt{1 - \left(\frac{7}{25}\right)^2} = \frac{24}{25}$
$\tan A = \frac{24}{7}$ और $\cot A = \frac{7}{24}$
$$ = \frac{24}{7} + \frac{7}{24} = \frac{576 + 49}{168} $$
उत्तर: $\frac{625}{168}$

8. $\operatorname{cosec} 70^\circ - \sec 20^\circ$ का मान बताइए।

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$\operatorname{cosec} 70^\circ = \sec(90^\circ - 70^\circ) = \sec 20^\circ$
$$ = \sec 20^\circ - \sec 20^\circ $$
उत्तर: $0$

9. $\sec \theta$ को $\cot \theta$ में व्यक्त कीजिए।

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$$ \sec^2 \theta = 1 + \tan^2 \theta = 1 + \frac{1}{\cot^2 \theta} = \frac{\cot^2 \theta + 1}{\cot^2 \theta} $$
उत्तर: $\sec \theta = \frac{\sqrt{\cot^2 \theta + 1}}{\cot \theta}$

10. $\frac{1 + \tan^2 \theta}{1 + \cot^2 \theta}$ का मान बताइए।

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$$ = \frac{\sec^2 \theta}{\operatorname{cosec}^2 \theta} = \frac{\sin^2 \theta}{\cos^2 \theta} $$
उत्तर: $\tan^2 \theta$

11. $\frac{\cos^2 20^\circ + \cos^2 70^\circ}{\sin^2 59^\circ + \sin^2 31^\circ}$ का मान ज्ञात कीजिए।

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$$ = \frac{\cos^2 20^\circ + \sin^2 20^\circ}{\sin^2 59^\circ + \cos^2 59^\circ} = \frac{1}{1} $$
उत्तर: $1$

12. सिद्ध करें: $\sqrt{\frac{1 + \sin \theta}{1 - \sin \theta}} = \tan \theta + \sec \theta$

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हर का परिमेयकरण करने पर:
$$ = \sqrt{\frac{(1 + \sin \theta)^2}{1 - \sin^2 \theta}} = \frac{1 + \sin \theta}{\cos \theta} $$
$$ = \frac{1}{\cos \theta} + \frac{\sin \theta}{\cos \theta} = \sec \theta + \tan \theta $$ (सिद्ध हुआ)

13. सिद्ध करें: $\sec^4 \theta - \sec^2 \theta = \tan^4 \theta + \tan^2 \theta$

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$$ = \sec^2 \theta (\sec^2 \theta - 1) = (1 + \tan^2 \theta)(\tan^2 \theta) $$
$$ = \tan^2 \theta + \tan^4 \theta $$ (सिद्ध हुआ)

14. यदि $\tan \theta = \frac{4}{3}$ तो $\frac{\sin \theta + \cos \theta}{\sin \theta - \cos \theta}$ का मान होगा।

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अंश-हर में $\cos \theta$ से भाग देने पर:
$$ = \frac{\tan \theta + 1}{\tan \theta - 1} = \frac{4/3 + 1}{4/3 - 1} = \frac{7/3}{1/3} $$
उत्तर: $7$

15. यदि $3x = \operatorname{cosec} \theta$ और $\frac{3}{x} = \cot \theta$ तो $3\left(x^2 - \frac{1}{x^2}\right)$ का मान बताइए।

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वर्ग करके घटाने पर: $9x^2 - \frac{9}{x^2} = \operatorname{cosec}^2 \theta - \cot^2 \theta$
$$ 9\left(x^2 - \frac{1}{x^2}\right) = 1 \Rightarrow 3\left(x^2 - \frac{1}{x^2}\right) = \frac{1}{3} $$
उत्तर: $1/3$

16. यदि $x = a \sin \theta$ तथा $y = a \cos \theta$ तो $x^2 + y^2$ का मान ज्ञात कीजिए।

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$$ = a^2 \sin^2 \theta + a^2 \cos^2 \theta = a^2(1) $$
उत्तर: $a^2$

17. $\cot \theta \tan(90^\circ - \theta) - \sec(90^\circ - \theta)\operatorname{cosec} \theta + \sqrt{3} \tan 12^\circ \tan 60^\circ \tan 78^\circ$

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$$ = \cot^2 \theta - \operatorname{cosec}^2 \theta + \sqrt{3}(\tan 12^\circ \cot 12^\circ \sqrt{3}) $$
$$ = -1 + 3(1) = 2 $$
उत्तर: $2$

18. $\cos \theta \cos(90^\circ - \theta) - \sin \theta \sin(90^\circ - \theta)$ का मान ज्ञात कीजिए।

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$$ = \cos \theta \sin \theta - \sin \theta \cos \theta $$
उत्तर: $0$

19. यदि $7 \sin^2 \theta + 3 \cos^2 \theta = 4$ तो दिखाइए $\tan \theta = \frac{1}{\sqrt{3}}$

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$$ 4\sin^2 \theta + 3(\sin^2 \theta + \cos^2 \theta) = 4 \Rightarrow 4\sin^2 \theta + 3 = 4 $$
$$ \sin^2 \theta = \frac{1}{4} \Rightarrow \theta = 30^\circ \Rightarrow \tan 30^\circ = \frac{1}{\sqrt{3}} $$ (सिद्ध हुआ)

20. यदि $\sin(20^\circ + \theta) = \cos 30^\circ$ तो $\theta$ का मान ज्ञात कीजिए।

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$$ \sin(20^\circ + \theta) = \sin 60^\circ \Rightarrow 20^\circ + \theta = 60^\circ $$
उत्तर: $\theta = 40^\circ$

21. यदि $x = p \sec \theta + q \tan \theta$, $y = p \tan \theta + q \sec \theta$ तो सिद्ध कीजिए $x^2 - y^2 = p^2 - q^2$

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$$ x^2 - y^2 = p^2(\sec^2 \theta - \tan^2 \theta) - q^2(\sec^2 \theta - \tan^2 \theta) $$
$$ = p^2(1) - q^2(1) = p^2 - q^2 $$ (सिद्ध हुआ)

22. यदि $\sin(A - B) = \frac{1}{2}$ , $\cos(A + B) = \frac{1}{2}$ तो $A$ और $B$ का मान ज्ञात कीजिए।

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$A - B = 30^\circ$ और $A + B = 60^\circ$
जोड़ने पर: $2A = 90^\circ \Rightarrow A = 45^\circ$, $B = 15^\circ$
उत्तर: $A = 45^\circ, B = 15^\circ$

23. सिद्ध कीजिए: $\tan 1^\circ \tan 11^\circ \tan 21^\circ \tan 69^\circ \tan 79^\circ \tan 89^\circ = 1$

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$$ = (\tan 1^\circ \cot 1^\circ)(\tan 11^\circ \cot 11^\circ)(\tan 21^\circ \cot 21^\circ) = 1 $$ (सिद्ध हुआ)

24. यदि $\sec 4A = \operatorname{cosec}(A - 20^\circ)$ तो $A$ का मान ज्ञात कीजिए।

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$$ 90^\circ - 4A = A - 20^\circ \Rightarrow 5A = 110^\circ $$
उत्तर: $A = 22^\circ$

25. सिद्ध कीजिए: $\frac{\tan A + \sec A - 1}{\tan A - \sec A + 1} = \frac{1 + \sin A}{\cos A}$

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अंश में 1 की जगह $(\sec^2 A - \tan^2 A)$ रखने पर:
$$ = \frac{(\sec A + \tan A)(1 - \sec A + \tan A)}{1 - \sec A + \tan A} = \sec A + \tan A $$
$$ = \frac{1 + \sin A}{\cos A} $$ (सिद्ध हुआ)

26. सिद्ध कीजिए: $\sec A (1 - \sin A) (\sec A + \tan A) = 1$

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$$ = \frac{1}{\cos A}(1 - \sin A)\left(\frac{1 + \sin A}{\cos A}\right) = \frac{1 - \sin^2 A}{\cos^2 A} = 1 $$ (सिद्ध हुआ)

27. यदि $\cos \theta + \sin \theta = \sqrt{2} \cos \theta$ तो दिखाइए कि $\cos \theta - \sin \theta = \sqrt{2} \sin \theta$

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वर्ग करने पर: $2\sin \theta \cos \theta = \cos^2 \theta - \sin^2 \theta = (\cos \theta - \sin \theta)(\cos \theta + \sin \theta)$
$2\sin \theta \cos \theta = (\cos \theta - \sin \theta)(\sqrt{2} \cos \theta) \Rightarrow \cos \theta - \sin \theta = \sqrt{2}\sin \theta$ (सिद्ध हुआ)

28. सिद्ध कीजिए: $(\sin \theta + \operatorname{cosec} \theta)^2 + (\cos \theta + \sec \theta)^2 = 7 + \tan^2 \theta + \cot^2 \theta$

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$$ = \sin^2 \theta + \operatorname{cosec}^2 \theta + 2 + \cos^2 \theta + \sec^2 \theta + 2 $$ $$ = 1 + (1 + \cot^2 \theta) + (1 + \tan^2 \theta) + 4 = 7 + \tan^2 \theta + \cot^2 \theta $$ (सिद्ध हुआ)

29. सिद्ध कीजिए: $\frac{1}{\sec x - \tan x} - \frac{1}{\cos x} = \frac{1}{\cos x} - \frac{1}{\sec x + \tan x}$

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$$ \frac{1}{\sec x - \tan x} + \frac{1}{\sec x + \tan x} = \frac{2\sec x}{\sec^2 x - \tan^2 x} = \frac{2}{\cos x} $$ (सिद्ध हुआ)

30. सिद्ध कीजिए: $\frac{\tan \theta}{1 - \cot \theta} + \frac{\cot \theta}{1 - \tan \theta} = 1 + \tan \theta + \cot \theta = \sec \theta \operatorname{cosec} \theta + 1$

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$$ = \frac{\sin^3 \theta - \cos^3 \theta}{\sin \theta \cos \theta(\sin \theta - \cos \theta)} = \frac{1 + \sin \theta \cos \theta}{\sin \theta \cos \theta} = \sec \theta \operatorname{cosec} \theta + 1 $$ (सिद्ध हुआ)

31. यदि $\tan \theta + \sin \theta = m$, $\tan \theta - \sin \theta = n$ तो दिखाइए कि $m^2 - n^2 = 4\sqrt{mn}$

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LHS: $m^2 - n^2 = 4 \tan \theta \sin \theta$
RHS: $4\sqrt{\tan^2 \theta - \sin^2 \theta} = 4\sqrt{\sin^2 \theta \tan^2 \theta} = 4 \tan \theta \sin \theta$ (सिद्ध हुआ)

32. यदि $\sec \theta = x + \frac{1}{4x}$, तो सिद्ध करिए $\sec \theta + \tan \theta = 2x$ या $\frac{1}{2x}$

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$\tan^2 \theta = (x + \frac{1}{4x})^2 - 1 = (x - \frac{1}{4x})^2 \Rightarrow \tan \theta = \pm(x - \frac{1}{4x})$
जोड़ने पर $2x$ या $\frac{1}{2x}$ प्राप्त होता है। (सिद्ध हुआ)

33. यदि $\sin \theta + \sin^2 \theta = 1$ तो सिद्ध करिए $\cos^2 \theta + \cos^4 \theta = 1$

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$\sin \theta = 1 - \sin^2 \theta \Rightarrow \sin \theta = \cos^2 \theta$
LHS: $\cos^2 \theta + (\cos^2 \theta)^2 = \sin \theta + \sin^2 \theta = 1$ (सिद्ध हुआ)

34. $\cot \theta \tan(90^\circ - \theta) - \sec(90^\circ - \theta)\operatorname{cosec} \theta + \sin^2 65^\circ + \sin^2 25^\circ + \sqrt{3} \tan 5^\circ \tan 85^\circ$

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$$ = (\cot^2 \theta - \operatorname{cosec}^2 \theta) + 1 + \sqrt{3}(1) = -1 + 1 + \sqrt{3} $$
उत्तर: $\sqrt{3}$

35. सिद्ध करिए: $\frac{\cot(90^\circ - \theta)}{\tan \theta} + \frac{\operatorname{cosec}(90^\circ - \theta) \sin \theta}{\tan(90^\circ - \theta)} = \sec^2 \theta$

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$$ = 1 + \frac{\sec \theta \sin \theta}{\cot \theta} = 1 + \tan^2 \theta = \sec^2 \theta $$ (सिद्ध हुआ)

36. $\frac{\cos^2 20^\circ + \cos^2 70^\circ}{\sec^2 50^\circ - \cot^2 40^\circ} + 2 \operatorname{cosec}^2 58^\circ - 2 \cot 58^\circ \tan 32^\circ - 4 \tan 13^\circ \tan 37^\circ \tan 77^\circ \tan 45^\circ \tan 53^\circ$

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$$ = 1 + 2(\operatorname{cosec}^2 58^\circ - \cot^2 58^\circ) - 4(1) = 1 + 2 - 4 $$
उत्तर: $-1$

37. यदि $A, B, C$ त्रिभुज $ABC$ के अंत कोण है तो सिद्ध कीजिए: $\operatorname{cosec}^2\left(\frac{B+C}{2}\right) - \tan^2\left(\frac{A}{2}\right) = 1$

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$\frac{B+C}{2} = 90^\circ - \frac{A}{2} \Rightarrow \operatorname{cosec}^2(90^\circ - A/2) = \sec^2(A/2)$
$$ \sec^2(A/2) - \tan^2(A/2) = 1 $$ (सिद्ध हुआ)

38. $\sec^2 10^\circ - \cot^2 80^\circ + \frac{\sin 15^\circ \cos 75^\circ + \cos 15^\circ \sin 75^\circ}{\cos \theta \sin(90^\circ - \theta) + \sin \theta \cos(90^\circ - \theta)}$

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$$ = (\sec^2 10^\circ - \tan^2 10^\circ) + \frac{\sin^2 15^\circ + \cos^2 15^\circ}{\cos^2 \theta + \sin^2 \theta} = 1 + 1 $$
उत्तर: $2$

39. सिद्ध कीजिए: $\frac{\tan \theta - \cot \theta}{\sin \theta \cos \theta} = \tan^2 \theta - \cot^2 \theta$

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$$ = \frac{1}{\cos^2 \theta} - \frac{1}{\sin^2 \theta} = \sec^2 \theta - \operatorname{cosec}^2 \theta = \tan^2 \theta - \cot^2 \theta $$ (सिद्ध हुआ)

40. सिद्ध कीजिए: $\frac{\sec \theta + \tan \theta - 1}{\tan \theta - \sec \theta + 1} = \frac{\cos \theta}{1 - \sin \theta}$

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$$ = \sec \theta + \tan \theta = \frac{1 + \sin \theta}{\cos \theta} = \frac{1 - \sin^2 \theta}{\cos \theta(1 - \sin \theta)} = \frac{\cos \theta}{1 - \sin \theta} $$ (सिद्ध हुआ)

41. सिद्ध कीजिए: $\left(1 + \frac{1}{\tan^2 A}\right)\left(1 + \frac{1}{\cot^2 A}\right) = \frac{1}{\sin^2 A - \sin^4 A}$

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$$ = \operatorname{cosec}^2 A \cdot \sec^2 A = \frac{1}{\sin^2 A \cos^2 A} = \frac{1}{\sin^2 A(1 - \sin^2 A)} $$ (सिद्ध हुआ)

42. सिद्ध कीजिए: $2(\sin^6 \theta + \cos^6 \theta) - 3(\sin^4 \theta + \cos^4 \theta) + 1 = 0$

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$$ = 2(1 - 3\sin^2 \theta \cos^2 \theta) - 3(1 - 2\sin^2 \theta \cos^2 \theta) + 1 = 2 - 3 + 1 = 0 $$ (सिद्ध हुआ)

43. सिद्ध कीजिए: $(1 + \cot A + \tan A)(\sin A - \cos A) = \sin A \tan A - \cot A \cos A$

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$$ = \frac{\sin^3 A - \cos^3 A}{\sin A \cos A} = \frac{\sin^2 A}{\cos A} - \frac{\cos^2 A}{\sin A} = \sin A \tan A - \cos A \cot A $$ (सिद्ध हुआ)

44. यदि $\sin \theta + \cos \theta = m$ और $\sec \theta + \operatorname{cosec} \theta = n$ तो दिखाइए $n(m^2 - 1) = 2m$

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$m^2 - 1 = 2\sin \theta \cos \theta$ और $n = \frac{m}{\sin \theta \cos \theta}$
LHS: $\left(\frac{m}{\sin \theta \cos \theta}\right) (2\sin \theta \cos \theta) = 2m$ (सिद्ध हुआ)

45. $\frac{\cot(90^\circ - \theta) \tan \theta - \operatorname{cosec}(90^\circ - \theta) \sec \theta}{\sin 12^\circ \cos 15^\circ \sec 78^\circ \operatorname{cosec} 75^\circ} + \frac{\cos^2(50^\circ + \theta) + \cos^2(40^\circ - \theta)}{\tan 15^\circ \tan 37^\circ \tan 53^\circ \tan 75^\circ}$

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पहला भाग = $-1/1 = -1$, दूसरा भाग = $1/1 = 1$
$$ -1 + 1 = 0 $$
उत्तर: $0$

46. सर्वसमिका सिद्ध कीजिए: $\frac{1}{\operatorname{cosec} \theta + \cot \theta} - \frac{1}{\sin \theta} = \frac{1}{\sin \theta} - \frac{1}{\operatorname{cosec} \theta - \cot \theta}$

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$$ \frac{1}{\operatorname{cosec} \theta + \cot \theta} + \frac{1}{\operatorname{cosec} \theta - \cot \theta} = \frac{2\operatorname{cosec} \theta}{\operatorname{cosec}^2 \theta - \cot^2 \theta} = 2\operatorname{cosec} \theta $$ (सिद्ध हुआ)

47. यदि $\frac{\cos \alpha}{\cos \beta} = m$ और $\frac{\cos \alpha}{\sin \beta} = n$ है तो सिद्ध कीजिए $(m^2 + n^2) \cos^2 \beta = n^2$

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$$ = \cos^2 \alpha \left(\frac{\sin^2 \beta + \cos^2 \beta}{\cos^2 \beta \sin^2 \beta}\right) \cos^2 \beta = \frac{\cos^2 \alpha}{\sin^2 \beta} = n^2 $$ (सिद्ध हुआ)

48. यदि $\tan \theta + \sin \theta = m, \tan \theta - \sin \theta = n$ है, तो सिद्ध कीजिए $m^2 - n^2 = 4\sqrt{mn}$

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*(प्रश्न संख्या 31 के समान है)* (सिद्ध हुआ)

49. सिद्ध कीजिए: $\sec^2 \theta - \frac{\sin^2 \theta - 2\sin^4 \theta}{2\cos^4 \theta - \cos^2 \theta} = 1$

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$$ = \sec^2 \theta - \frac{\sin^2 \theta(\cos 2\theta)}{\cos^2 \theta(\cos 2\theta)} = \sec^2 \theta - \tan^2 \theta = 1 $$ (सिद्ध हुआ)

50. मान ज्ञात कीजिए: $\frac{\sec(90^\circ - \theta)\operatorname{cosec} \theta - \tan(90^\circ - \theta)\cot \theta + \cos^2 25^\circ + \cos^2 65^\circ}{3 \tan 27^\circ \tan 63^\circ}$

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$$ = \frac{(\operatorname{cosec}^2 \theta - \cot^2 \theta) + 1}{3(1)} = \frac{1 + 1}{3} = \frac{2}{3} $$
उत्तर: $\frac{2}{3}$

"अपनी क्षमताओं को $\tan 90^\circ$ की तरह रखो—असीमित और अपरिभाषित (Undefined)!" मतलब: अपनी मेहनत की कोई सीमा मत रखो, आप जितना सोच सकते हैं उससे कहीं अधिक हासिल कर सकते हैं।