9th Maths Test Solution

कक्षा IX गणित प्रश्न पत्र 2023-24

समय: 3 घंटे     पूर्णांक: 80 अंक

प्रश्न 1: निम्न में से 5 को परिभाषित करें 5×2=10

(a) प्राकृत संख्या (Natural Numbers)

प्राकृत संख्याएँ गिनती में उपयोग की जाने वाली संख्याएँ हैं। ये 1 से शुरू होकर अनंत तक जाती हैं।

$\mathbb{N} = \{1, 2, 3, 4, 5, ...\}$

(b) बहुपद (Polynomial)

बहुपद एक बीजीय व्यंजक है जिसमें चर और अचर होते हैं, और चरों की घात हमेशा एक पूर्ण संख्या होती है।

सामान्य रूप: $a_nx^n + a_{n-1}x^{n-1} + ... + a_1x + a_0$

(c) अपरिमेय संख्या (Irrational Numbers)

अपरिमेय संख्या वह संख्या है जिसे $\frac{p}{q}$ के रूप में व्यक्त नहीं किया जा सकता, जहाँ $p$ और $q$ पूर्णांक हैं और $q \neq 0$।

उदाहरण: $\sqrt{2}, \pi, e$

(d) रैखिक बहुपद (Linear Polynomial)

रैखिक बहुपद एक चर का वह बहुपद है जिसकी उच्चतम घात 1 होती है।

सामान्य रूप: $ax + b$ जहाँ $a \neq 0$

(e) पूर्णांक (Integers)

पूर्णांक में सभी धनात्मक संख्याएँ, सभी ऋणात्मक संख्याएँ और शून्य शामिल होते हैं।

$\mathbb{Z} = \{..., -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, ...\}$

प्रश्न 2: निम्नलिखित परिमेय संख्याओं को दशमलव रूप में लिखें 5×2=10

(a) $\frac{5}{16} = 0.3125$

(b) $\frac{10}{3} = 3.\overline{3} = 3.333...$

(c) $\frac{33}{26} = 1.269230769... = 1.\overline{269230}$

(d) $\frac{5}{6} = 0.8\overline{3} = 0.8333...$

(e) $\frac{327}{500} = 0.654$

प्रश्न 3: निम्नलिखित को p/q के रूप में व्यक्त करें 5×2=10

(a) $1.\overline{27}$

माना $x = 1.272727...$

$100x = 127.272727...$

$100x - x = 127.272727... - 1.272727...$

$99x = 126$

$x = \frac{126}{99} = \frac{14}{11}$

(b) $0.\overline{235}$

माना $x = 0.235235235...$

$1000x = 235.235235...$

$1000x - x = 235$

$999x = 235$

$x = \frac{235}{999}$

(c) $3.235353...$

$3.2\overline{35}$

माना $x = 3.235353...$

$1000x = 3235.353...$

$10x = 32.353...$

$990x = 3203$

$x = \frac{3203}{990}$

(d) $0.33333...$

$0.\overline{3}$

माना $x = 0.333...$

$10x = 3.333...$

$9x = 3$

$x = \frac{3}{9} = \frac{1}{3}$

(e) $52.30\overline{27}$

माना $x = 52.302727...$

$10000x = 523027.2727...$

$100x = 5230.2727...$

$9900x = 517797$

$x = \frac{517797}{9900} = \frac{57533}{1100}$

प्रश्न 4: निम्नलिखित को सरल करें 5×2=10

(a) $5\sqrt{2} + 4\sqrt{2} = (5+4)\sqrt{2} = 9\sqrt{2}$

(b) $8\sqrt[3]{5} + 7\sqrt[3]{5} - 13\sqrt[3]{5} = (8+7-13)\sqrt[3]{5} = 2\sqrt[3]{5}$

(c) $4\sqrt{3} - 3\sqrt{12} + 2\sqrt{75}$

$= 4\sqrt{3} - 3(2\sqrt{3}) + 2(5\sqrt{3})$

$= 4\sqrt{3} - 6\sqrt{3} + 10\sqrt{3}$

$= 8\sqrt{3}$

(d) $\sqrt{8} + \sqrt{32} - \sqrt{2}$

$= 2\sqrt{2} + 4\sqrt{2} - \sqrt{2}$

$= 5\sqrt{2}$

(e) $\sqrt{192} - \frac{1}{2}\sqrt{48} - \sqrt{75}$

$= 8\sqrt{3} - \frac{1}{2}(4\sqrt{3}) - 5\sqrt{3}$

$= 8\sqrt{3} - 2\sqrt{3} - 5\sqrt{3}$

$= \sqrt{3}$

प्रश्न 5: निम्नांकित समताओं में परिमेय संख्या a तथा b का मान ज्ञात करें 5×2=10

(a) $\frac{\sqrt{5}-1}{\sqrt{5}+1} + \frac{\sqrt{5}+1}{\sqrt{5}-1} = a + b\sqrt{5}$

पहला भाग:

$\frac{\sqrt{5}-1}{\sqrt{5}+1} = \frac{(\sqrt{5}-1)^2}{(\sqrt{5})^2-1^2} = \frac{6-2\sqrt{5}}{4} = \frac{3-\sqrt{5}}{2}$

दूसरा भाग:

$\frac{\sqrt{5}+1}{\sqrt{5}-1} = \frac{(\sqrt{5}+1)^2}{(\sqrt{5})^2-1^2} = \frac{6+2\sqrt{5}}{4} = \frac{3+\sqrt{5}}{2}$

योग:

$\frac{3-\sqrt{5}}{2} + \frac{3+\sqrt{5}}{2} = \frac{6}{2} = 3$

$a = 3, b = 0$

(b) $\frac{7+\sqrt{5}}{7-\sqrt{5}} - \frac{7-\sqrt{5}}{7+\sqrt{5}} = a + 7\sqrt{5}b$

पहला भाग:

$\frac{7+\sqrt{5}}{7-\sqrt{5}} = \frac{(7+\sqrt{5})^2}{49-5} = \frac{54+14\sqrt{5}}{44}$

दूसरा भाग:

$\frac{7-\sqrt{5}}{7+\sqrt{5}} = \frac{(7-\sqrt{5})^2}{49-5} = \frac{54-14\sqrt{5}}{44}$

घटाना:

$\frac{54+14\sqrt{5}}{44} - \frac{54-14\sqrt{5}}{44} = \frac{28\sqrt{5}}{44} = \frac{7\sqrt{5}}{11}$

$a = 0, b = \frac{1}{11}$

प्रश्न 6: निम्नलिखित का गुणनखंड करें 5×2=10

(a) $2x^2 + 3x + 1 = (2x + 1)(x + 1)$

(b) $12x^2 - 25x + 12 = (4x - 3)(3x - 4)$

(c) $p^2 + 3p - 108 = (p + 12)(p - 9)$

(d) $96 - 4b - b^2 = -(b^2 + 4b - 96) = -(b + 12)(b - 8) = (8 - b)(12 + b)$

(e) $x^2 - x - 132 = (x - 12)(x + 11)$

प्रश्न 7: निम्नलिखित का गुणनखंड करें 5×3=15

(a) $2y^3 - 5y^2 - 19y + 42$

$y = 2$ रखने पर समीकरण संतुष्ट होता है।

$(y - 2)$ से विभाजित करने पर:

$(y - 2)(2y^2 - y - 21) = (y - 2)(2y - 7)(y + 3)$

(b) $x^3 - 3x^2 - 9x - 5$

$x = -1$ रखने पर समीकरण संतुष्ट होता है।

$(x + 1)$ से विभाजित करने पर:

$(x + 1)(x^2 - 4x - 5) = (x + 1)(x + 1)(x - 5) = (x + 1)^2(x - 5)$

(c) $8a^3 + 27b^3$

यह $A^3 + B^3$ के रूप का है, जहाँ $A = 2a$ और $B = 3b$

$(2a + 3b)(4a^2 - 6ab + 9b^2)$

(d) $x^3 + \frac{3}{2}x^2 + \frac{3}{4}x + \frac{1}{8}$

यह $(x + \frac{1}{2})^3$ के रूप का है।

$(x + \frac{1}{2})^3$

(e) $x^3 - 8$

यह $A^3 - B^3$ के रूप का है, जहाँ $A = x$ और $B = 2$

$(x - 2)(x^2 + 2x + 4)$

प्रश्न 8: 3/5 और 4/5 के बीच पाँच परिमेय संख्या ज्ञात करें 5

$\frac{3}{5} = \frac{30}{50}$ और $\frac{4}{5} = \frac{40}{50}$

पाँच परिमेय संख्याएँ:

$\frac{31}{50}, \frac{32}{50}, \frac{33}{50}, \frac{34}{50}, \frac{35}{50}$
अथवा
$\frac{31}{50}, \frac{16}{25}, \frac{33}{50}, \frac{17}{25}, \frac{7}{10}$

प्रश्न 9: 0.2 और 0.32 के बीच तीन अपरिमेय संख्या ज्ञात करें 5

अपरिमेय संख्याओं का दशमलव प्रसार अनवसानी और अनावर्ती होना चाहिए।

$0.2101001000100001...$

$0.2235623562356...$

$0.3101001000100001...$

प्रश्न 10: यदि f(x)=x²+px+q, g(x)=x²+lx+m में प्रत्येक x+a से विभाजित है तो दिखाइये कि a=(m-q)/(l-p) 5

हल: शेषफल प्रमेय के अनुसार:

यदि $f(x)$ और $g(x)$ दोनों $(x+a)$ से विभाजित होते हैं, तो:

$f(-a) = 0$ और $g(-a) = 0$

f(-a) = 0 से:

$(-a)^2 + p(-a) + q = 0$

$a^2 - pa + q = 0$ ... (1)

g(-a) = 0 से:

$(-a)^2 + l(-a) + m = 0$

$a^2 - la + m = 0$ ... (2)

समीकरण (1) और (2) को घटाने पर:

$(a^2 - pa + q) - (a^2 - la + m) = 0$

$-pa + la + q - m = 0$

$a(l - p) = m - q$

$a = \frac{m - q}{l - p}$ (सिद्ध)

प्रश्न 11: यदि (x-1) तथा (x+4) बहुपद p(x) और q(x) के गुणनखंड है तो a और b का मान ज्ञात करें 5

दिया गया:

$p(x) = (x^2 - 3x + 2)(x^2 + 7x + a)$

$q(x) = (x^2 + 5x + 4)(x^2 - 5x + b)$

p(x) के लिए:

$x^2 - 3x + 2 = (x-1)(x-2)$

अतः $p(x) = (x-1)(x-2)(x^2 + 7x + a)$

चूँकि $(x+4)$ भी गुणनखंड है: $p(-4) = 0$

$(-4-1)(-4-2)((-4)^2 + 7(-4) + a) = 0$

$(-5)(-6)(16 - 28 + a) = 0$

$30(-12 + a) = 0$

$a = 12$

q(x) के लिए:

$x^2 + 5x + 4 = (x+1)(x+4)$

अतः $q(x) = (x+1)(x+4)(x^2 - 5x + b)$

चूँकि $(x-1)$ भी गुणनखंड है: $q(1) = 0$

$(1+1)(1+4)(1^2 - 5(1) + b) = 0$

$(2)(5)(1 - 5 + b) = 0$

$10(-4 + b) = 0$

$b = 4$

प्रश्न 12: यदि a=(√2+1)/(√2-1) और b=(√2-1)/(√2+1) तो सिद्ध करें कि a²+b²+ab=35 5

a को सरल करना:

$a = \frac{\sqrt{2}+1}{\sqrt{2}-1} = \frac{(\sqrt{2}+1)^2}{(\sqrt{2})^2-1^2} = \frac{2+1+2\sqrt{2}}{2-1} = 3+2\sqrt{2}$

b को सरल करना:

$b = \frac{\sqrt{2}-1}{\sqrt{2}+1} = \frac{(\sqrt{2}-1)^2}{(\sqrt{2})^2-1^2} = \frac{2+1-2\sqrt{2}}{2-1} = 3-2\sqrt{2}$

ab की गणना:

$ab = (3+2\sqrt{2})(3-2\sqrt{2}) = 9 - 8 = 1$

a² की गणना:

$a^2 = (3+2\sqrt{2})^2 = 9 + 8 + 12\sqrt{2} = 17 + 12\sqrt{2}$

b² की गणना:

$b^2 = (3-2\sqrt{2})^2 = 9 + 8 - 12\sqrt{2} = 17 - 12\sqrt{2}$

अंतिम गणना:

$a^2 + b^2 + ab = (17 + 12\sqrt{2}) + (17 - 12\sqrt{2}) + 1$

$= 17 + 17 + 1 = 35$

अतः $a^2 + b^2 + ab = 35$ (सिद्ध)

"विकल्प" मिलेंगे बहुत, मार्ग भटकाने के लिए,
"संकल्प" एक ही काफी है, मंजिल तक जाने के लिए!

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🌟 ALL THE BEST 🌟